기초통계학 6 | 확률, 조건부확률, 독립사건, 베이즈정리

 

 

 

 

 

1. 확률

 

 

1. 부울의 부등식 (Boole's inequality)

- 사건들의 합집합의 확률이 각 사건들의 확률의 합보다 작거나 같음

 

 

= A₁,A₂​,…,Aₙ : 여러 개의 사건들

 

P(Aᵢ​) : 각 사건 Aᵢ​의 확률

 

:  각 사건의 확률을 합한 값

 

 

 

2. 본페로니 부등식 (Bonferroni's inequality)

- 사건들의 합집합 확률을 구할 때, 

  상한선과 하한선을 제공함

 

 

 

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2. 조건부확률

 

 

1. 조건부확률 (Conditional probability)

- 확률실험에서 새로운 정보나 조건이 추가되었을 때, 사건 B의 확률

P(B|A) : 사건 A가 발생한 조건 하에서 사건 B가 발생할 확률

P(A∩B) : 사건 A와 사건 B가 동시에 발생할 확률

P(A) : 사건 A가 발생할 확률 (단, P(A) >0)

 

 

 

2. 사망률 (Mortality rate)

- 특정 기간 동안 일정 인구 집단에서 발생한 사망의 비율

 

ex) 60세 이상의 사망률

→ 표본공간이 전체연령대에서 60세 이상으로 축소

 

 

 

3. 생존률 (Survival rate)

- 특정 기간 동안 특정 집단에서 살아남은 사람의 비율

 

 

 

4. 완전생명표

- 인구 집단에 생애동안 발생할 수 있는 사망률, 생존률 등

  통계적 데이터를 체계적으로 나타낸 표

 

 

 

5. 확률수형도 (Probability tree)

- 사건들의 조건부확률과 결합확률을 시각적으로 나타냄

- 각 사건이 일어날 확률을 가지는 분기점을 통해 사건의 발생경로를 나타내며, 

  가능한 모든 결과를 구체적으로 보여줌

 

확률수형도 예시

 

 

 

 

6. 표본공간의 분할 (Partition)

- 표본공간을 여러 개의 부분 집합으로 나누는 것

 

 

① 상호 배타적 (Mutually Exclusive)

- 각 부분집합은 다른 부분 집합과 겹치지 않음

 

A∩B=∅

 

② 전체를 이루는 사건 (Exhaustive)

- 각 부분집합들의 합집합은 전체 표본공간과 같아야 함

 

A₁ ∪ · · · ∪Aₙ = Ω

 

 

 

 

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3. 독립사건 (Independent events)

 

 

1. 독립사건 (Independent events)

- 두 사건이 서로 영향을 미치지 않는 경우

- 두 사건 A와 B가 동시에 일어날 확률은 각 사건의 확률을 곱한 것과 같음

 

P(A∩B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) 

 

ex) 동전 던지기와 주사위 굴리기

 

① 각 사건의 확률

- 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률 : 1/2

- 주사위에서 3이 나올 확률 : 1/6

 

② 두 사건이 동시에 일어날 확률

P(앞면∩3) = P(앞면) · P(3) = 1/2 · 1/6 = 1/12

 

 

 

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4. 베이즈정리 (Bayes' theorem)

 

 

1. 베이즈정리 (bayes' theorem)

- 조건부확률을 이용하여 어떤 사건이 발생했을 때

  다른 사건의 확률을 계산하는 방법

 

P(B∣A) : 사건 A 조건 하에서 사건 B가 발생할 확률 (先 A)

P(A∩B) : 사건 A와 사건 B가 동시에 발생할 확률 

P(A) : 사건 A가 발생할 확률

 

ex) 질병 진단

사건 A : 어떤 사람이 질병을 가지고 있음

사건 B : 그 사람이 특정 증상을 보임

 

 

 

2. 코호트 연구 (Cohort study)

- 특정 인구 집단(코호트)을 일정기간 동안 추적하여

  특정 요인이 질병이나 사건 발생에 미치는 영향을 분석하는 관찰연구의 한 유형

- 인과관계를 밝히는 데 효과적

 

 

 

3. 전향적 코호트 연구 (Prospective study)

- 현재로부터 미래로 추적 [원인 ⇒ 결과]

 

ex) 흡연과 폐암의 연관성 연구

ex) 식단과 심혈관 질환 연구

 

 

 

4. 사전확률 (Prior probability)

- 원인의 가능성인 P(A) 또는 P(Aᶜ)는 사건 B가 관측되기 이전의 확률

- 새로운 데이터를 반영하면 사후확률로 업데이트됨

 

ex) 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 1/2

 

 

 

5. 사례-대조연구 (Case-Control study)

- 특정 질병이나 사건의 발생여부를 기준으로

  두 집단을 비교하여 원인 또는 위험요인을 분석하는 역학 연구방법

- 후향적 연구 (Retrospective study) : 과거 데이터로 원인을 추정

 

ex) 흡연과 폐암의 관계

 

① 사례군 : 폐암 환자

② 대조군 : 폐암이 없는 환자

③ 두 집단의 과거 흡연 이력을 조사하여 흡연이 폐암 발생에 미치는 영향 분석

 

 

 

6. 사후확률 (Posterior probability)

- 특정 사건이 발생한 후 새로운 정보를 바탕으로 해당 사건의 확률을 갱신한 값