선형대수학 2 | 코시-슈바르츠 부등식 증명

 

 

코시-슈바르츠 부등식

- 벡터 공간에서 두 벡터의 내적에 대한 부등식

- 두 벡터 u = ( u₁​, u₂, …, uₙ​ ), v = ( v ₁​, v ₂,…, v ₙ​ )가 있을 때

  코시-슈바르츠 부등식 =  |u ⋅ v| ≤ ||u|| ||v|| 

  뜻 : 두 벡터의 내적의 절댓값은 각 벡터의 크기의 곱보다 크지 않다

→ u ⋅ v : 두 벡터의 내적(inner product)

→ || u || || v || : 각 벡터의 크기

 

 

ex) 

1. 새로운 벡터 정의

새로운 벡터 : w = u - tv

→ 이 벡터의 크기는 항상 0 이상이어야 함 ⇒ ||w||² = ||u - tv||² ≥ 0

 

 

2. 벡터 크기 제곱 계산

||w||² = (u - tv, u - tv)

||w||² = (u,u) - 2t(u,v) + t²(v,v)

||w||² = ||u||² - 2tu ⋅ v + t² ||v||²

 

 

3. ||w||² ≥ 0 을 만족하는 t값 찾기

t에 대한 미분으로 0이 되는 지점을 찾아 2.의 항등식을 최소화하기

d/dt ( ||u||² - 2tu ⋅ v + t² ||v||²) = 0

-2u ⋅ v + 2t ||v||² = 0

∴ t = u ⋅ v / ||v||² 

 

 

4. 최소값 대입

t값을 대입하여 ||w||²을 최소화하고

0 이상이어야 하는 조건을 만족시키면,

아래의 부등식 도출됨

|u ⋅ v| ≤ ||u|| ||v|| 

 

 

결론

코시-슈바르츠 부등식은 두 벡터의 평행도 비교하는 것

벡터의 내적은 벡터들이 얼마나 같은 방향을 향하고 있는지를 나타내며,

내적의 절댓값이 두 벡터 크기의 곱보다 커질 수 없다는 뜻

 

두 벡터가 완전히 일치할 때 즉, 완전히 평행할 때만

두 벡터의 내적이 두 벡터의 크기 곱과 같고,

그렇지 않으면 항상 그보다 작음